Analysis Beispiele

$x^{4} + x^{2} y^{2} - x y^{3} = 20$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + x^{2} y^{2} - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (20)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + x^{2} y^{2} - x y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$4 x^{3} + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$4 x^{3} + x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$4 x^{3} + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{3} + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Schritt 2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$4 x^{3} - y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y^{2} x y'$

Schritt 3

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x^{3} - y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y^{2} x y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y^{2} x y' = - 4 x^{3}$

Schritt 5.1.2

Addiere $y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y^{2} x y' = - 4 x^{3} + y^{3}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 3 y^{2} x y' = - 4 x^{3} + y^{3} - 2 y^{2} x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x y y'$ aus $2 x^{2} y y' - 3 y^{2} x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x y y'$ aus $2 x^{2} y y'$ heraus.

$x y y' (2 x) - 3 y^{2} x y' = - 4 x^{3} + y^{3} - 2 y^{2} x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x y y'$ aus $- 3 y^{2} x y'$ heraus.

$x y y' (2 x) + x y y' (- 3 y) = - 4 x^{3} + y^{3} - 2 y^{2} x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x y y'$ aus $x y y' (2 x) + x y y' (- 3 y)$ heraus.

$x y y' (2 x - 3 y) = - 4 x^{3} + y^{3} - 2 y^{2} x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y y' (2 x - 3 y) = - 4 x^{3} + y^{3} - 2 y^{2} x$ durch $x y (2 x - 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y y' (2 x - 3 y) = - 4 x^{3} + y^{3} - 2 y^{2} x$ durch $x y (2 x - 3 y)$ .

$\frac{x y y' (2 x - 3 y)}{x y (2 x - 3 y)} = \frac{- 4 x^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y y' (2 x - 3 y)}{x y (2 x - 3 y)} = \frac{- 4 x^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{- 4 x^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{- 4 x^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 4 x^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 3 y$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 4 x^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2})}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y (2 x - 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2})}{x (y (2 x - 3 y))} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2})}{x (y (2 x - 3 y))} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{3}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y \cdot y^{2}}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (2 x - 3 y)$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y \cdot y^{2}}{y (x (2 x - 3 y))} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y \cdot y^{2}}{y (x (2 x - 3 y))} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{y (- 2 y x)}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (2 x - 3 y)$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{y (- 2 y x)}{y (x (2 x - 3 y))}$

Schritt 5.3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{y (- 2 y x)}{y (x (2 x - 3 y))}$

Schritt 5.3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y x}{x (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y x}{x (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{- 2 y}{2 x - 3 y}$

Schritt 5.3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} - \frac{2 y}{2 x - 3 y}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{2 y}{2 x - 3 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} - \frac{2 y}{2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (2 x - 3 y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{2 x - 3 y}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} - \frac{2 y \cdot y}{(2 x - 3 y) y}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 x - 3 y) y$ um.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} - \frac{4 x^{2}}{y (2 x - 3 y)} - \frac{2 y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{- 4 x^{2} - 2 y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2} - 2 y \cdot y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{2 (- 2 x^{2}) - 2 y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y \cdot y$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (- y \cdot y)}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{2}) + 2 (- y \cdot y)$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{2 (- 2 x^{2} - y \cdot y)}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.5.2.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{2 (- 2 x^{2} - (y \cdot y))}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} + \frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2})}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.6

Um $\frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2})}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.7

Um $\frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2})}{y (2 x - 3 y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2})}{y (2 x - 3 y)} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (2 x - 3 y) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{x (2 x - 3 y)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{x (2 x - 3 y) y} + \frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2})}{y (2 x - 3 y)} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2})}{y (2 x - 3 y)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{x (2 x - 3 y) y} + \frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2}) x}{y (2 x - 3 y) x}$

Schritt 5.3.3.8.3

Stelle die Faktoren von $x (2 x - 3 y) y$ um.

$y' = \frac{y^{2} y}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2}) x}{y (2 x - 3 y) x}$

Schritt 5.3.3.8.4

Stelle die Faktoren von $y (2 x - 3 y) x$ um.

$y' = \frac{y^{2} y}{x y (2 x - 3 y)} + \frac{2 (- 2 x^{2} - y^{2}) x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} y + 2 (- 2 x^{2} - y^{2}) x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.10.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.10.1.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.3.3.10.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{1} + 2 (- 2 x^{2} - y^{2}) x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{y^{2 + 1} + 2 (- 2 x^{2} - y^{2}) x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{y^{3} + 2 (- 2 x^{2} - y^{2}) x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{y^{3} + (2 (- 2 x^{2}) + 2 (- y^{2})) x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y' = \frac{y^{3} + (- 4 x^{2} + 2 (- y^{2})) x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y' = \frac{y^{3} + (- 4 x^{2} - 2 y^{2}) x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{y^{3} - 4 x^{2} x - 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.10.6.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.10.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{3} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{y^{3} - 4 x^{1 + 2} - 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.10.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y' = \frac{y^{3} - 4 x^{3} - 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} - 4 x^{3} - 2 y^{2} x}{x y (2 x - 3 y)}$