Analysis Beispiele

$- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- \frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{10} x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{- 5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 5}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $10$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (- x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{4}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.5

Kombiniere $\frac{- 4}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6.2.4

Dividiere $- 2 x^{3}$ durch $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 (2 x)$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$f'' (x) = - 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x \cdot x^{2} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 72 x = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 72 x$ heraus.

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{2}) - 2 x (12 x)$ heraus.

$- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x (36)$ heraus.

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 2 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 6$ .

$- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze ${(x + 6)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze ${(x + 6)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse ${(x + 6)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 6$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{10} \cdot 0 - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{10} \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{10}) - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{10}$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 6$ in $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = - \frac{1}{10} \cdot {(- 6)}^{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $5$ .

$f (- 6) = - \frac{1}{10} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{10}$ in den Zähler.

$f (- 6) = \frac{- 1}{10} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 7776$ heraus.

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- 6) = \frac{- 1}{5} \cdot - 3888 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{- 1}{5}$ und $- 3888$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3888$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.5

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 \cdot 1296 - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1296$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 - 12 {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.7

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 - 12 \cdot - 216$

Schritt 4.3.2.1.8

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 216$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 + 2592$

Schritt 4.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Schreibe $- 2592$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592}{1} + 2592$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 2592}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5} + 2592$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 2592}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + 2592$

Schritt 4.3.2.2.4

Schreibe $2592$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592}{1}$

Schritt 4.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{2592}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 4.3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{2592}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 6) = \frac{3888 - 2592 \cdot 5 + 2592 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 2592$ mit $5$ .

$f (- 6) = \frac{3888 - 12960 + 2592 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.4.2

Mutltipliziere $2592$ mit $5$ .

$f (- 6) = \frac{3888 - 12960 + 12960}{5}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.2.5.1

Subtrahiere $12960$ von $3888$ .

$f (- 6) = \frac{- 9072 + 12960}{5}$

Schritt 4.3.2.5.2

Addiere $- 9072$ und $12960$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5}$

Schritt 4.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{3888}{5}$ .

$\frac{3888}{5}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 6$ in $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- 6, \frac{3888}{5})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 6, \frac{3888}{5})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 6, \frac{3888}{5})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 6)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = - 2 {(- 6.1)}^{3} - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 6.1$ mit $3$ .

$f'' (- 6.1) = - 2 \cdot - 226.981 - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 6.1$ mit $2$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 24 \cdot 37.21 - 72 \cdot - 6.1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 893.04 - 72 \cdot - 6.1$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 72$ mit $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 893.04 + 439.2$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $893.04$ von $453.962$ .

$f'' (- 6.1) = - 439.078 + 439.2$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 439.078$ und $439.2$ .

$f'' (- 6.1) = 0.122$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.122$ .

$0.122$

Schritt 6.3

Bei $- 6.1$ ist die zweite Ableitung $0.122$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 6)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 6)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 6, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{3} - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = - 2 \cdot - 27 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 27$ .

$f'' (- 3) = 54 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = 54 - 24 \cdot 9 - 72 \cdot - 3$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $9$ .

$f'' (- 3) = 54 - 216 - 72 \cdot - 3$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $- 72$ mit $- 3$ .

$f'' (- 3) = 54 - 216 + 216$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $216$ von $54$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 216$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 162$ und $216$ .

$f'' (- 3) = 54$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $54$ .

$54$

Schritt 7.3

Bei $- 3$ ist die zweite Ableitung $54$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 6, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 6, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 2 {(0.1)}^{3} - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = - 2 \cdot 0.001 - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 24 \cdot 0.01 - 72 \cdot 0.1$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 0.24 - 72 \cdot 0.1$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $- 72$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 0.24 - 7.2$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $0.24$ von $- 0.002$ .

$f'' (0.1) = - 0.242 - 7.2$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $7.2$ von $- 0.242$ .

$f'' (0.1) = - 7.442$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7.442$ .

$- 7.442$

Schritt 8.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 7.442$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 10