Analysis Beispiele

$4 x \cdot e^{2 x}$

Schritt 1

Schreibe $4 x \cdot e^{2 x}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x \cdot e^{2 x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x \cdot e^{2 x} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x \cdot e^{2 x} d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Schritt 8

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 8.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 13

Schreibe $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 15.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 x}}{4}$ in den Zähler.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 15.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 15.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x \cdot e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$