Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x - 6$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x - 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 8.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 8.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 8.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 8.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 12.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 12.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 14.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$3 u^{\frac{1}{2}} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 14.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 14.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 14.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6$ .

$3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$