Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 4}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.4

Dividiere $- 2 x^{3}$ durch $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $42 x^{2}$ nach $x$ gleich $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 42 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $42$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 84 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{3} + 84 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [84 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $84$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $84 x$ nach $x$ gleich $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 84 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $84$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 84$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 x^{2} + 84$ .

$- 6 x^{2} + 84$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 x^{2} + 84 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 6 x^{2} + 84 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $84$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{2} = - 84$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{2} = - 84$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{2} = - 84$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 84}{- 6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 84}{- 6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 84}{- 6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 84$ durch $- 6$ .

$x^{2} = 14$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{14}$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{14}$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{14}$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{14}, - \sqrt{14}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\sqrt{14}$ in $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{14}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt{14})}^{4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{4}$ als $14^{2}$ um.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(14^{\frac{1}{2}})}^{4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{4}{2}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2}{1}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{2} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 196 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot 196 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $196$ heraus.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{14}) = - 1 \cdot 98 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $98$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Schritt 3.1.2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $42$ mit $14$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 588$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $- 98$ und $588$ .

$f (\sqrt{14}) = 490$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $490$ .

$490$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\sqrt{14}$ in $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(\sqrt{14}, 490)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\sqrt{14}, 490)$

Schritt 3.3

Ersetze $- \sqrt{14}$ in $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{14}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(- \sqrt{14})}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{14}$ an.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{4} {\sqrt{14}}^{4}) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{4}$ mit $- 1$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2})) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{2}) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{2}) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{14}}^{4}$ als $14^{2}$ um.

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(14^{\frac{1}{2}})}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{4}{2}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2}{1}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{2} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $14$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 196 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot 196 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $196$ heraus.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{14}) = - 1 \cdot 98 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $98$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.8

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{14}$ an.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{14}}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 (1 {\sqrt{14}}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.10

Mutltipliziere ${\sqrt{14}}^{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {\sqrt{14}}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.11

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

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Schritt 3.3.2.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Schritt 3.3.2.1.11.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Schritt 3.3.2.1.12

Mutltipliziere $42$ mit $14$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 588$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 98$ und $588$ .

$f (- \sqrt{14}) = 490$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $490$ .

$490$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \sqrt{14}$ in $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- \sqrt{14}, 490)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \sqrt{14}, 490)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\sqrt{14}, 490), (- \sqrt{14}, 490)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \sqrt{14}) \cup (- \sqrt{14}, \sqrt{14}) \cup (\sqrt{14}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{14})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.84165738$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 6 {(- 3.84165738)}^{2} + 84$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.84165738$ mit $2$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 6 \cdot 14.75833147 + 84$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $14.75833147$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 88.54998886 + 84$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 88.54998886$ und $84$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 4.54998886$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.54998886$ .

$- 4.54998886$

Schritt 5.3

Bei $- 3.84165738$ , die zweite Ableitung ist $- 4.54998886$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \sqrt{14})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{14})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 84$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 84$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $84$ .

$f'' (0) = 84$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $84$ .

$84$

Schritt 6.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $84$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{14}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.84165738$ .

$f'' (3.84165738) = - 6 {(3.84165738)}^{2} + 84$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3.84165738$ mit $2$ .

$f'' (3.84165738) = - 6 \cdot 14.75833147 + 84$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $14.75833147$ .

$f'' (3.84165738) = - 88.54998886 + 84$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 88.54998886$ und $84$ .

$f'' (3.84165738) = - 4.54998886$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.54998886$ .

$- 4.54998886$

Schritt 7.3

Bei $3.84165738$ , die zweite Ableitung ist $- 4.54998886$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\sqrt{14}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\sqrt{14}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \sqrt{14}, 490), (\sqrt{14}, 490)$ .

$(- \sqrt{14}, 490), (\sqrt{14}, 490)$

Schritt 9