Analysis Beispiele

$\int (e^{3 x} - 18 e^{- 4 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int e^{3 x} - 18 e^{- 4 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{3 x} d x + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 3.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Schritt 4

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Schritt 7

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 18$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{- 4 x} d x$

Schritt 8

Sei $u_{2} = - 4 x$ . Dann ist $d u_{2} = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 8.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Schritt 9.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2})$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 12

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{18}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 (9)}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 4 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{- 4 x} + C$