Analysis Beispiele

$z = y {(3 + 2 x)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (y {(3 + 2 x)}^{4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $x$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y {(3 + 2 x)}^{4}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 3 + 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + 2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$y (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + 2 x$ .

$y (4 {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 \cdot y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \cdot 1$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

Schritt 5

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$