Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{x + 2}{x^{2} - 12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} - 12) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{x^{2} - 12}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 12) x$ um.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{x (x^{2} - 12)} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)} \cdot \frac{1}{x + 6}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}$ mit $\frac{1}{x + 6}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 6} (x + 2) x - (x^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3.1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 6$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $(x + 2) x - (x^{2} - 12)$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{(- 6 + 2) \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $- 6$ und $2$ .

$\frac{- 4 \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$\frac{24 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3.1.2.2.3

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{24 - (36 - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3.1.2.2.4

Subtrahiere $12$ von $36$ .

$\frac{24 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3.1.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3.1.2.3

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot lim_{x \to - 6} x^{2} - 12 \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 3.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot (lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 3.1.3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6)}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Schritt 3.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 6$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Schritt 3.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Schritt 3.1.3.7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Schritt 3.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.8.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Schritt 3.1.3.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Schritt 3.1.3.8.2

Subtrahiere $12$ von $36$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot 24 \cdot (- 6 + 6)}$

Schritt 3.1.3.8.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $24$ .

$\frac{0}{- 144 \cdot (- 6 + 6)}$

Schritt 3.1.3.8.4

Addiere $- 6$ und $6$ .

$\frac{0}{- 144 \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.8.5

Mutltipliziere $- 144$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x + 2) x - (x^{2} - 12)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x + 2) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(x + 2) x]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3.6

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.3.9

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} - 12)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.4.4

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.4.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.5.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $0$ und $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x (x^{2} - 12)$ und $g (x) = x + 6$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Schritt 3.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Schritt 3.3.9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Schritt 3.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 12$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 12] + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.15

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.16

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.18

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1)}$

Schritt 3.3.22

Mutltipliziere $x^{2} - 12$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + x^{2} - 12)}$

Schritt 3.3.23

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

Schritt 3.3.24

Vereinfache.

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Schritt 3.3.24.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

Schritt 3.3.24.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.4

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.24.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.24.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.24.5.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.2

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 \cdot x + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{1 + 2} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.5

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.7

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.24.5.8

Mutltipliziere $6$ mit $- 12$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

Schritt 3.3.24.5.9

Addiere $x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{4 x^{3} - 12 x + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

Schritt 3.3.24.5.10

Subtrahiere $12 x$ von $- 12 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3}) + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 24 x - 72}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ heraus.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) - 24 x - 72}$

Schritt 3.4.2.4

Faktorisiere $2$ aus $- 24 x$ heraus.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x) - 72}$

Schritt 3.4.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ heraus.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) - 72}$

Schritt 3.4.2.6

Faktorisiere $2$ aus $- 72$ heraus.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 \cdot - 36}$

Schritt 3.4.2.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 (- 36)$ heraus.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

Schritt 3.4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

Schritt 3.4.2.9

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 6} \frac{1}{2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 6$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 6} 1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 6$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 6$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 lim_{x \to - 6} x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Schritt 4.5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Schritt 4.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Schritt 4.8

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 36}$

Schritt 4.9

Berechne den Grenzwert von $36$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 6$ annähert.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 6$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot - 216 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 216$ .

$\frac{1}{- 432 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Schritt 6.1.3

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{1}{- 432 + 9 \cdot 36 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $36$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 6$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 + 72 - 1 \cdot 36}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 + 72 - 36}$

Schritt 6.1.7

Addiere $- 432$ und $324$ .

$\frac{1}{- 108 + 72 - 36}$

Schritt 6.1.8

Addiere $- 108$ und $72$ .

$\frac{1}{- 36 - 36}$

Schritt 6.1.9

Subtrahiere $36$ von $- 36$ .

$\frac{1}{- 72}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{72}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{72}$

Dezimalform:

$- 0.013\overline{8}$