Analysis Beispiele

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

Schritt 4

Wandle von $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ nach $\sec^{4} (x)$ um.

$\int \sec^{4} (x) d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 6

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 7

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 1 + u^{2} d u$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$u + C + \int u^{2} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$