Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.7.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.2.7.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Schritt 1.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 1.1.3.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.7.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + \tan (0)}$

Schritt 1.1.3.7.1.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Schritt 1.1.3.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.1.3.7.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{1 - \cos (x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x) + \sin (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Schritt 1.3.5.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.3.5.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.5.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.5.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.5.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x) + \tan (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.9.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.9.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Schritt 1.3.10

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

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Schritt 1.3.10.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.10.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.10.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.10.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.10.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.10.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.10.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Schritt 1.3.10.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Schritt 1.3.11

Vereinfache.

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Schritt 1.3.11.1

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Schritt 1.3.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.11.2.1

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

Schritt 1.3.11.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (2 x)}$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 1.3.11.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 1.3.11.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 1.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.1

Um $\sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.11

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.12

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.13

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.14

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 2.15

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}}$

Schritt 2.16

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Schritt 2.17

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}{\cos^{2} (2 \cdot 0)}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{\cos^{2} (2 \cdot 0)}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{\cos^{2} (0)}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1^{2}}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) + 2}$

Schritt 4.3.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot 1^{2} + 2}$

Schritt 4.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot 1 + 2}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 + 2}$

Schritt 4.3.6

Addiere $0$ und $2$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$(0 + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$(0 + 3 \cos (0)) \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$(0 + 3 \cdot 1) \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(0 + 3) \frac{1}{2}$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $3$ .

$3 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.6

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$