Analysis Beispiele

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x - 6}{4 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 6$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $- 6$ von $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Schritt 1.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Schritt 1.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{2 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{- 6}{2}$ und $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

Schritt 2.4.4

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

Schritt 2.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Schritt 2.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

Schritt 2.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Schritt 2.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

Schritt 2.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$