Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 4} + 5 x}{4 x + 3}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $9$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{9} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Schritt 6.1.5

Addiere $3$ und $5$ .

$\frac{8}{4 + 3 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{8}{4 + 0}$

Schritt 6.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{8}{4}$

Schritt 6.3

Dividiere $8$ durch $4$ .

$2$