Analysis Beispiele

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{8} + 9$ . Dann ist $d u = 8 x^{7} d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{8} + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{8} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{8} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x^{7} + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $8 x^{7}$ und $0$ .

$8 x^{7}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Schritt 3.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u$ .

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $9$ .

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{8} + 9$ .

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$