Analysis Beispiele

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ als $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ um.

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Schritt 4.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere $e^{3 x}$ mit $e^{3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

Schritt 4.3.1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Schritt 4.3.2

Addiere $2 e^{3 x}$ und $2 e^{3 x}$ .

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Schritt 8

Sei $u_{1} = 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{1} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 8.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Schritt 9

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $4$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Schritt 13

Sei $u_{2} = 6 x$ . Dann ist $d u_{2} = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{2} = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 13.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

Schritt 14

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{6}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Schritt 15

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 16

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 17

Vereinfache.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $6 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

Schritt 19

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$