Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 3 x^{2}}{5 x - 15}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 3 x^{2}}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2}}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2}}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2}}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27 - 3 \cdot 3^{2}}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{27 - 3 \cdot 9}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 5 x - 15}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 15}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $15$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 3 - 1 \cdot 15}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{0}{15 - 1 \cdot 15}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{0}{15 - 15}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 3 x^{2}}{5 x - 15} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x - 15]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x - 15]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x - 15]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x - 15]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x - 15]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 3 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 x - 15]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [5 x - 15]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Schritt 1.3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.3.6.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 6 x}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Schritt 1.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 6 x}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Schritt 1.3.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 6 x}{5 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Schritt 1.3.7

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 6 x}{5 + 0}$

Schritt 1.3.8

Addiere $5$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 6 x}{5}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x)$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x)$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x)$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x)$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x)$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} (3^{1} \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3)$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{5} (3^{1 + 2} - 6 \cdot 3)$

Schritt 4.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{5} (3^{3} - 6 \cdot 3)$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{5} (27 - 6 \cdot 3)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{1}{5} (27 - 18)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $18$ von $27$ .

$\frac{1}{5} \cdot 9$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $9$ .

$\frac{9}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{5}$

Dezimalform:

$1.8$