Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x - 2}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{u}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $u$ und $u^{2}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1}}{u^{2}} d u$

Schritt 2.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$\int \frac{u \cdot 1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Schritt 2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$\ln (| 2 x - 1 |) + C$