Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $t$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Schritt 5.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{- 1}$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

Schritt 5.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- (t^{- 1} - 1)$ als $- 1 (t^{- 1} - 1)$ um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

Schritt 5.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 6.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t}$ $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 6.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.6.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Schritt 6.6.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 6.6.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.6.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.6.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$