Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16}{x + 3} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16$ durch $x + 3$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 3 x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{3} - 15 x^{2}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

Schritt 1.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

Schritt 1.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Schritt 1.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + 9 x$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Schritt 1.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Schritt 1.16

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$16$

Schritt 1.17

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - \frac{16}{x + 3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Schritt 4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \frac{16}{x + 3} d x$

Schritt 9

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Schritt 11

Sei $u = x + 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 11.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 11.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 12

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 13

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| u |) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$