Analysis Beispiele

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2 e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y e^{x}$ nach $y$ gleich $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y \cos (2 x y)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ .

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = \cos (2 x y)$ .

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = 2 x y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.4

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $\cos (2 x y)$ mit $1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$