Analysis Beispiele

$4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$4 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Schritt 8

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 9

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 11.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.3.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{3}$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 12}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 11.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.6.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$