Analysis Beispiele

Ermittle den Maximum-/Minimumwert f(x)=6x^4+3x^2
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
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Schritt 1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2
Berechne .
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Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Berechne .
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Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
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Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Berechne .
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Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Berechne .
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Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Berechne .
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Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich .
Schritt 5.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.5.1
Setze gleich .
Schritt 5.5.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.5.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 5.5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.5.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.5.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.5.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.5.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.5.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 5.5.2.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 5.5.2.4
Vereinfache .
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Schritt 5.5.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 5.5.2.4.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 5.5.2.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 5.5.2.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 5.5.2.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 5.5.2.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 5.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Addiere und .
Schritt 10
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 11.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Addiere und .
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
Schritt 13