Analysis Beispiele

$3^{2 x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $3^{2 x + 1}$ als Funktion.

$f (x) = 3^{2 x + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3^{2 x + 1} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $3^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{3^{u}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 3^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{2 x + 1} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3^{2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{2 x + 1} + C$