Analysis Beispiele

$y = x e^{- x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x e^{- x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.2

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 2.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 2.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 2.4.2.3

Subtrahiere $e^{- x}$ von $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ um.

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Schritt 4.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x} + e^{- x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Schritt 5.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ heraus.

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Schritt 5.4

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.5

Setze $- x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Setze $- x + 1$ gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $- x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- x} (- x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $e^{- (1)}$ mit $1$ .

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

Schritt 9.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

Schritt 9.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

Schritt 9.1.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Schritt 9.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 2}{e}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Schritt 9.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{e}$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $e^{- (1)}$ mit $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Schritt 11.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x e^{- x}$ .

$(1, \frac{1}{e})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13