Analysis Beispiele

$\int x \ln (1 + x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (1 + x)$ und $d v = x$ .

$\ln (1 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (1 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (1 + x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Schritt 5

Dividiere $x^{2}$ durch $x + 1$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Schritt 5.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 9

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 9.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (1 + x)$ .

$\frac{\ln (1 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (1 + x)}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Schritt 11.2.3

Um $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 11.2.4

Kombiniere $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 11.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 11.2.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 11.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Schritt 11.2.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Schritt 11.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Schritt 11.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Schritt 11.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Schritt 11.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Schritt 11.2.9.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Um $\ln (| x + 1 |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Schritt 13.2

Kombiniere $\ln (| x + 1 |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Schritt 13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Schritt 13.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| x + 1 |)$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

Schritt 13.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Schritt 13.6

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 13.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

Schritt 15

Schreibe $\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$ als $\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Addiere $\ln (1 + x) x^{2}$ und $\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

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Schritt 16.1.1

Stelle $\ln (x + 1)$ und $x^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (x + x^{2} \ln (x + 1) + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 16.1.2

Um $x^{2} \ln (x + 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + x^{2} \ln (x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 16.1.3

Kombiniere $x^{2} \ln (x + 1)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{x^{2} \ln (x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 16.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (x + \frac{x^{2} \ln (x + 1) \cdot 2 - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 16.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} \ln (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

Schritt 17.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

Schritt 17.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

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Schritt 17.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 17.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{4} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} (2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)) + C$