Analysis Beispiele

$\int x (x^{2} + \frac{3}{x^{4}}) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x^{2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + 2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\int x^{3} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\int x^{3} + x \frac{3}{x \cdot x^{3}} d x$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{3} + x \frac{3}{x \cdot x^{3}} d x$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{3} + \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{3} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int x^{- 3} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 7.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{1}{4} x^{4} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$