Analysis Beispiele

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Schritt 1

Schreibe $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ als Funktion.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

Schritt 4.1.2

Separiere Brüche.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

Schritt 4.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 4.1.4

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 4.4

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 4.4.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 4.5

Vereinfache $e^{0} \sec^{2} (x)$ .

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$