Analysis Beispiele

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2} + 1}{x}$ an.

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 7

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ aus.

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Schritt 7.1

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Schritt 7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Schritt 7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.8

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.10

Addiere $2$ und $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.12

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.13

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.15

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.16

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.17

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.19

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.20

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.21

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 7.22

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

Schritt 7.23

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

Schritt 7.24

Stelle $2$ und $x^{- 2}$ um.

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Schritt 12.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$