Analysis Beispiele

$x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - 3^{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 3^{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int 3^{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $3^{x}$ nach $x$ ist $\frac{3^{x}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{3^{x}}{\ln (3)} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{3^{x}}{\ln (3)} + C) + \ln (| x |) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x} + \ln (| x |) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x} + \ln (| x |) + C$