Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{8 (x^{4} - 9)}{x^{2} - 3}$

Schritt 1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \sqrt{3}$ annähert.

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \sqrt{3}$ annähert.

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \sqrt{3}$ für $x$ .

$8 \frac{{(- \sqrt{3})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$8 \frac{{(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$8 \frac{1 {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{4}$ mit $1$ .

$8 \frac{{\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 2.1.2.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{4}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.3.1.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{3^{\frac{2}{1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.4.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$8 \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$8 \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$8 \frac{9 - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \sqrt{3}$ annähert.

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Schritt 2.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Schritt 2.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \sqrt{3}$ annähert.

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \sqrt{3}$ für $x$ .

$8 \frac{0}{{(- \sqrt{3})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$8 \frac{0}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$8 \frac{0}{1 {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$8 \frac{0}{{\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.3.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \frac{0}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{0}{3^{1} - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$8 \frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 2.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$8 \frac{0}{3 - 3}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$8 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$8 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$8 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3} = lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 2.3.8

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + 0}$

Schritt 2.3.9

Addiere $2 x$ und $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Schritt 2.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 (x)}$

Schritt 2.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Schritt 2.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{3}}{x}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x^{1}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{2}}{1}$

Schritt 2.4.2.2.5

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} 2 x^{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 \cdot 2 lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2}$

Schritt 3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$8 \cdot 2 {(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \sqrt{3}$ für $x$ .

$8 \cdot 2 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$16 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Schritt 5.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$16 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Schritt 5.4

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$16 {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 5.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$16 \cdot 3^{1}$

Schritt 5.5.5

Berechne den Exponenten.

$16 \cdot 3$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$48$