Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.7.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1.8.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.1.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Addiere $- 4 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 1$ und ${(x - 1)}^{4}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.4.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.4.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.4.5

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 x (- 1 (x - 1))$ heraus.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.5.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.5.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.5.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{6}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.10.3

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.10.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x - 2$ heraus.

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Schritt 2.11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.7

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Schritt 2.11.10

Mutltipliziere $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.4

Differenziere.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.4.5.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.2.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.2.1.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.2.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.2.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.7.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.2.1.8.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.2.1.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.2.2

Addiere $- 4 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.2.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 4.1.5.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 1$ und ${(x - 1)}^{4}$ .

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Schritt 4.1.5.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.4.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.4.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.4.5

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 x (- 1 (x - 1))$ heraus.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.5.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.5.4.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.5.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.5.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 (2 (0) + 1)}{{((0) - 1)}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0 - 1)}^{4}}$

Schritt 9.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - 1)}^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{4}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 9.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Schritt 11.2.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13