Analysis Beispiele

$\int \frac{3}{x^{3}} + 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{3}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 \int x^{- 3} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{- 3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$