Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- \frac{1}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 6}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 6}{3}$ und $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6.2.4

Dividiere $- 2 x^{5}$ durch $1$ .

$- 2 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 2 x^{5} - 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- \frac{15}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{15}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} (4 x^{3})$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 4 (\frac{15}{2}) x^{3}$

Schritt 1.1.4.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{15}{2}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 15}{2} x^{3}$

Schritt 1.1.4.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $15$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60}{2} x^{3}$

Schritt 1.1.4.6

Kombiniere $\frac{- 60}{2}$ und $x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60 x^{3}}{2}$

Schritt 1.1.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $2$ .

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Schritt 1.1.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 60 x^{3}$ heraus.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2}$

Schritt 1.1.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (1)}$

Schritt 1.1.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 30 x^{3}}{1}$

Schritt 1.1.4.7.2.4

Dividiere $- 30 x^{3}$ durch $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 10 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 10 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 15$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 (3 x^{2})$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 30$ .

$f'' (x) = - 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 10 x^{2}$ aus $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 10 x^{2}$ aus $- 10 x^{4}$ heraus.

$- 10 x^{2} x^{2} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $- 10 x^{2}$ aus $- 60 x^{3}$ heraus.

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 90 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $- 10 x^{2}$ aus $- 90 x^{2}$ heraus.

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $- 10 x^{2}$ aus $- 10 x^{2} (x^{2}) - 10 x^{2} (6 x)$ heraus.

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $- 10 x^{2}$ aus $- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} (9)$ heraus.

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 10 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{3}) - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.6

Multipliziere $- \frac{15}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 3.1.2.1.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{15}{2})$

Schritt 3.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{15}{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 3$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{6} - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $6$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (243)) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3) = - 1 \cdot 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $243$ .

$f (- 3) = - 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Multipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $1$ .

$f (- 3) = - 243 + (- 3) {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{1 + 5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Addiere $1$ und $5$ .

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{6} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $- 3$ mit $6$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.6

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot 81$

Schritt 3.3.2.1.7

Multipliziere $- \frac{15}{2} \cdot 81$ .

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Schritt 3.3.2.1.7.1

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - 81 (\frac{15}{2})$

Schritt 3.3.2.1.7.2

Kombiniere $- 81$ und $\frac{15}{2}$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 81 \cdot 15}{2}$

Schritt 3.3.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 81$ mit $15$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 1215}{2}$

Schritt 3.3.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{1215}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.3.2.2.1

Schreibe $- 243$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} + 729 - \frac{1215}{2}$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 243}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} \cdot \frac{2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Schritt 3.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 243}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Schritt 3.3.2.2.4

Schreibe $729$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} - \frac{1215}{2}$

Schritt 3.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{729}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1215}{2}$

Schritt 3.3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{729}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729 \cdot 2}{2} - \frac{1215}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 243$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Schritt 3.3.2.4.2

Mutltipliziere $729$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 1458 - 1215}{2}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.5.1

Addiere $- 486$ und $1458$ .

$f (- 3) = \frac{972 - 1215}{2}$

Schritt 3.3.2.5.2

Subtrahiere $1215$ von $972$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{2}$

Schritt 3.3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{243}{2}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 3$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(- 3, - \frac{243}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 3, - \frac{243}{2})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 3, - \frac{243}{2})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 10 {(- 3.1)}^{4} - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.1$ mit $4$ .

$f'' (- 3.1) = - 10 \cdot 92.3521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 3.1$ mit $3$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 \cdot - 29.791 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 60$ mit $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $- 3.1$ mit $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 \cdot 9.61$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $- 90$ mit $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 864.9$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 923.521$ und $1787.46$ .

$f'' (- 3.1) = 863.939 - 864.9$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $864.9$ von $863.939$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.961$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.961$ .

$- 0.961$

Schritt 5.3

Bei $- 3.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.961$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 3)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{3^{4}}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{81}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 5) (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{81}{8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.7

Kombiniere $- 5$ und $\frac{81}{8}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 81}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $81$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.10.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.12

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.14.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{27}{8}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.14.2

Faktorisiere $4$ aus $- 60$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 (- 15) (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.14.3

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.14.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 15 (\frac{- 27}{2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.15

Kombiniere $- 15$ und $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{- 15 \cdot - 27}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.16

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.17

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.17.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Schritt 6.2.1.17.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 6.2.1.18

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 6.2.1.19

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 6.2.1.20

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 6.2.1.21

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (\frac{9}{4})$

Schritt 6.2.1.22

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.22.1

Faktorisiere $2$ aus $- 90$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 (- 45) (\frac{9}{4})$

Schritt 6.2.1.22.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Schritt 6.2.1.22.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Schritt 6.2.1.22.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 45 (\frac{9}{2})$

Schritt 6.2.1.23

Kombiniere $- 45$ und $\frac{9}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 45 \cdot 9}{2}$

Schritt 6.2.1.24

Mutltipliziere $- 45$ mit $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 405}{2}$

Schritt 6.2.1.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - \frac{405}{2}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{405 - 405}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $405$ von $405$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{0}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{0}{2}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 0$

Schritt 6.2.4

Addiere $- \frac{405}{8}$ und $0$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{405}{8}$ .

$- \frac{405}{8}$

Schritt 6.3

Bei $- \frac{3}{2}$ , die zweite Ableitung ist $- 50.625$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 3, 0)$

Abfallend im Intervall $(- 3, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 10 {(0.1)}^{4} - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $4$ .

$f'' (0.1) = - 10 \cdot 0.0001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 \cdot 0.001 - 90 {(0.1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 60$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 {(0.1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 \cdot 0.01$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $- 90$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 0.9$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $0.06$ von $- 0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.061 - 0.9$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $0.9$ von $- 0.061$ .

$f'' (0.1) = - 0.961$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.961$ .

$- 0.961$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.961$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus ändert. Es gibt keine Punkte auf dem Graph, die diese Bedingungen erfüllen.

Keine Wendepunkte