Analysis Beispiele

$\int (\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 4.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 4} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{12} + C$

Schritt 10.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{3}{2}})}{12} + C$

Schritt 10.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

Schritt 10.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

Schritt 10.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$