Analysis Beispiele

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ mit $1$ .

$\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 13

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 13.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 14

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 15

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 16

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Schritt 17

Vereinfache.

$u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

Schritt 18.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Schritt 19.2

Kombiniere $\sin (\frac{2 x}{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Schritt 20.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + C$

Schritt 20.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Schritt 21

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$