Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $32$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{32 - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$\frac{32 - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $32$ von $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2^{4} - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 32$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x}{4}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{5}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5}{4} lim_{x \to 2} x$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot 2$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{5}{2 (2)} \cdot 2$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$