Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.4

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- x^{2} - 9 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} - 18 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x - 18 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 x - 18$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x - 18$ .

$- 2 x - 18$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x - 18 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x - 18 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = 18$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 18$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 18$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{18}{- 2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $18$ durch $- 2$ .

$x = - 9$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 9$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 729$ heraus.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 243$ .

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Multipliziere $- 9$ mit ${(- 9)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit ${(- 9)}^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1.1

Potenziere $- 9$ mit $1$ .

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$f (- 9) = 243 - 729$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $729$ von $243$ .

$f (- 9) = - 486$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 486$ .

$- 486$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 9$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 9, - 486)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 9, - 486)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 9)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $18$ von $18.2$ .

$f'' (- 9.1) = 0.2$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.2$ .

$0.2$

Schritt 5.3

Bei $- 9.1$ ist die zweite Ableitung $0.2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 9)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 9)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 9, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $18$ von $17.8$ .

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.2$ .

$- 0.2$

Schritt 6.3

Bei $- 8.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.2$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 9, \infty)$

Abfallend im Intervall $(- 9, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- 9, - 486)$ .

$(- 9, - 486)$

Schritt 8