Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{8} - 1 (\frac{2}{3}) k - 1$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $- 1 (\frac{2}{3})$ als $- (\frac{2}{3})$ um.

$- (\frac{2}{3}) \cdot k - 1$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $k$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{k \cdot 2}{3} - 1$

Schritt 1.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $k$ .

$- \frac{2 k}{3} - 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1 = \sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} + \sum_{k = 1}^{8} - 1$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- \frac{2}{3}$ aus der Summe raus.

$(- \frac{2}{3}) \sum_{k = 1}^{8} k$

Schritt 3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{2}{3}) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Schritt 3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $72$ heraus.

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (24))$

Schritt 3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Schritt 3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 24$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$- 24$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} - 1$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 1) (8)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$- 24 - 8$

Schritt 6

Subtrahiere $8$ von $- 24$ .

$- 32$