Analysis Beispiele

$y = x^{5} \sin (x)$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5} \sin (x))$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $\ln (x^{5} \sin (x))$ als $\ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$ um.

$\ln (y) = \ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{5})$ durch Herausziehen von $5$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Differenziere $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \ln (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Schritt 3.2.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.4.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 3.2.4.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \csc (x) \cos (x)$

Schritt 3.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{5}{x}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Schritt 3.2.5.2.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Schritt 3.2.5.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{5}{x}$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (\cot (x) + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{5} \sin (x)) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $x^{5} \sin (x)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} \sin (x)$ heraus.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \cos (x) x^{5} + 5 (x^{4} \sin (x))$

Schritt 5.5

Stelle die Faktoren in $\cos (x) x^{5} + 5 x^{4} \sin (x)$ um.

$y' = x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x)$