Analysis Beispiele

$\int x (x + 2) (4 x - 1) d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x - 1$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + 2) u \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1 + 8}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ und $8$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (\frac{u}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4})) \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4})) \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{u}{4}$ mit $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.8

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.9

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $\frac{u^{2}}{16}$ mit $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{2} u}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.14

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{2} u^{1}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.16

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.17

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.18

Mutltipliziere $\frac{u}{4}$ mit $\frac{9}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.19

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.20

Mutltipliziere $\frac{u \cdot 9}{16}$ mit $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.21

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.22

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.23

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.24

Mutltipliziere $\frac{u}{16}$ mit $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u \cdot u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.25

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1} u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.26

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1} u^{1}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.27

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.28

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.29

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.30

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{9}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.31

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{u}{4} d u$

Schritt 3.32

Mutltipliziere $\frac{9}{16}$ mit $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{16 \cdot 4} d u$

Schritt 3.33

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 \cdot u \cdot u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 4.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 (u^{1} u)}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 4.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 (u^{1} u^{1})}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 u^{1 + 1}}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 u^{2}}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u^{3}}{64} d u + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{64}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{64}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{64} \int u^{3} d u + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 8

Da $\frac{9}{64}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{9}{64}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} \int u^{2} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 10

Da $\frac{1}{64}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{64}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} \int u^{2} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{9 u}{64} d u$

Schritt 12

Da $\frac{9}{64}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{9}{64}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{9}{64} \int u d u$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2

Vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Um $\frac{3 u^{3}}{64}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3}}{64} \cdot \frac{3}{3} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $192$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 u^{3}}{64}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3}{64 \cdot 3} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.2.2

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3}{192} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3 + u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{9 u^{3} + u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.5

Addiere $9 u^{3}$ und $u^{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{10 u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $192$ .

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Schritt 14.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10 u^{3}$ heraus.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $192$ heraus.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{2 (96)} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{2 \cdot 96} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 14.2.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9}{64} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

Schritt 14.2.8

Mutltipliziere $\frac{9}{64}$ mit $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9 u^{2}}{64 \cdot 2} + C$

Schritt 14.2.9

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9 u^{2}}{128} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{4}}{256} + \frac{5 {(4 x - 1)}^{3}}{96} + \frac{9 {(4 x - 1)}^{2}}{128} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{256} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{5}{96} {(4 x - 1)}^{3} + \frac{9}{128} {(4 x - 1)}^{2} + C$