Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} 2 x + 1 & x \geq 1 \\ 4 - x^{2} & x = 1 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $4 - x^{2}$ , wenn sich $x$ $1$ nähert.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1} 4 - lim_{x \to 1} x^{2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$4 - lim_{x \to 1} x^{2}$

Schritt 1.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$4 - 1^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$3$

Schritt 2

Berechne $2 x + 1$ bei $1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$2 (1) + 1$

Schritt 2.2

Berechne.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 3

Da die Grenze von $4 - x^{2}$ bei Annäherung von $x$ an $1$ gleich dem Funktionswert bei $x = 1$ ist, ist die Funktion bei $x = 1$ kontinuierlich.

Stetig

Schritt 4