Analysis Beispiele

$y' + y = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d y}{d x} + y = 0$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \cdot 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $0$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 0$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 0$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 0 d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int 0 d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$e^{x} y = 0 + C$

Schritt 7.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{x} y = C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x}}$