Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Schritt 3

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

Schritt 5

Sei $u = 5 t$ . Dann ist $d u = 5 d t$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 5 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Schritt 5.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 5 t$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 5 t$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ mit $1$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $e^{t}$ bei $1$ und $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

Schritt 10.2

Berechne $e^{u}$ bei $5$ und $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache.

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Schritt 10.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Schritt 10.3.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

Schritt 10.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1$

Schritt 10.3.6

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$e + e^{5} - 2$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e + e^{5} - 2$

Dezimalform:

$149.13144093 \dots$

Schritt 12