Analysis Beispiele

$- 3 - y^{3} = 5 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 3 - y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 - (3 y^{2} y')$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$0 - 3 y^{2} y'$

Schritt 2.3

Subtrahiere $3 y^{2} y'$ von $0$ .

$- 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$5 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x y' + 5 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 y^{2} y' = 5 x y' + 5 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $5 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} y' - 5 x y' = 5 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y' - 5 x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) - 5 x y' = 5 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 x y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 5 x) = 5 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2}) + y' (- 5 x)$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} - 5 x) = 5 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y^{2} - 5 x) = 5 y$ durch $- 3 y^{2} - 5 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y^{2} - 5 x) = 5 y$ durch $- 3 y^{2} - 5 x$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 5 x)}{- 3 y^{2} - 5 x} = \frac{5 y}{- 3 y^{2} - 5 x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y^{2} - 5 x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 5 x)}{- 3 y^{2} - 5 x} = \frac{5 y}{- 3 y^{2} - 5 x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 y}{- 3 y^{2} - 5 x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{5 y}{- (3 y^{2}) - 5 x}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$y' = \frac{5 y}{- (3 y^{2}) - (5 x)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{2}) - (5 x)$ heraus.

$y' = \frac{5 y}{- (3 y^{2} + 5 x)}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $- (3 y^{2} + 5 x)$ als $- 1 (3 y^{2} + 5 x)$ um.

$y' = \frac{5 y}{- 1 (3 y^{2} + 5 x)}$

Schritt 5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 y}{3 y^{2} + 5 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y}{3 y^{2} + 5 x}$