Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Schritt 3.2

Dividiere $e^{y}$ durch $1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Schritt 6

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\ln (| y |)$ bei $3$ und $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

Schritt 7.1.2

Berechne $e^{y}$ bei $3$ und $1$ .

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

Schritt 7.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Schritt 7.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

Schritt 7.3.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Dezimalform:

$19.56447967 \dots$

Schritt 9