Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 3 x + 2$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 3 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{5}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

Schritt 5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{5}$ .

$2 \int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u)$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Bringe $u^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{- 5} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 5}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ als $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ um.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{4}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

Schritt 9.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{2}{3 (4 u^{4})} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{2}{12 u^{4}} + C$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 9.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{12 u^{4}} + C$

Schritt 9.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12 u^{4}$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{2 (6 u^{4})} + C$

Schritt 9.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (6 u^{4})} + C$

Schritt 9.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{6 u^{4}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$