Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.6.3

Bringe ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Schritt 1.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Schritt 1.10.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 1.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 1.10.4

Kombiniere $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.9.3

Bringe ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.9.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.12

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.13.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.17

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.19

Um ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.20

Kombiniere ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22

Multipliziere ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.22.1

Bewege ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.23

Vereinfache ${(x^{2} - 4)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.24

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.25

Schreibe $\frac{\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2.26

Mutltipliziere $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.27

Multipliziere ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.27.1

Bewege ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 2.27.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 2.27.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 2.27.4

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.28

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.29

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30

Vereinfache.

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Schritt 2.30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 4 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.30.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.30.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.3.1.2

Multipliziere $4 (3 \cdot - 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.30.3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.3.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 48$ heraus.

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Schritt 2.30.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 48$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 12}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.30.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot - 12$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 12)}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.6.3

Bringe ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 4.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 4.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 4.1.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Schritt 4.1.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Schritt 4.1.10.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 4.1.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 4.1.10.4

Kombiniere $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ als ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $27$ mit $- 4$ .

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Addiere $108$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$27 x^{2} = 108$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 108$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 108$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Schritt 6.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{108}{27}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.3.1

Dividiere $108$ durch $27$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 6.3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 6.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 6.3.3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 6.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 6.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 6.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 6.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 12)}{9 {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 (0 - 12)}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$\frac{- 48}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 48$ heraus.

$\frac{3 (- 16)}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (- 16)}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 16}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist ${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {(4 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 13.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 13.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{4}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Schritt 13.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{4 (- 4)}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 4) = - \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 1$ , aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.3.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.3.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, 2)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{4 (1)}{3 {({(1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (4)}{3 {({(4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(4^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.5.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.5.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung um $x = - 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 2$ ein lokales Minimum.

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.8

Da die erste Ableitung um $x = 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 2$ ein lokales Minimum.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15