Analysis Beispiele

$x \cdot \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $x \cdot \sin (x)$ als Funktion.

$f (x) = x \cdot \sin (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \cdot \sin (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Schritt 8

Schreibe $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ als $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ um.

$- x \cos (x) + \sin (x) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- x \cos (x) + \sin (x) + C$