Analysis Beispiele

$5 x^{2} (x + 47)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} (x + 47)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 47$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 47$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.3

Da $47$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $47$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

Schritt 1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 47$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

Schritt 1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Schritt 1.4.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Schritt 1.4.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Schritt 1.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Schritt 1.4.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Schritt 1.4.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

Schritt 1.4.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $47$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

Schritt 1.4.4.7

Mutltipliziere $94$ mit $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

Schritt 1.4.4.8

Addiere $5 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{2} + 470 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{2}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [470 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $470$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $470 x$ nach $x$ gleich $470 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 x + 470 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $470$ mit $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 470$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 x + 470$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $470$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $470$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$30 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $30$ und $0$ .

$f''' (x) = 30$