Analysis Beispiele

$\ln (y) + \frac{x}{y} = 2021$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (y) + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2021)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (y) + \frac{x}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y' + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1.1

Um $\frac{y'}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{y'}{y}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' y}{y \cdot y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y' y}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y' y + y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}}$

Schritt 3

Da $2021$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2021$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$y y' - x y' + y = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y y' - x y' = - y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $y y' - x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $y y'$ heraus.

$y' y - x y' = - y$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (y) + y' (- x) = - y$

Schritt 5.2.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y) + y' (- x)$ heraus.

$y' (y - x) = - y$

Schritt 5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (y - x) = - y$ durch $y - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (y - x) = - y$ durch $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - x$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{y - x}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{y - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y - x}$