Analysis Beispiele

$y = 3 x (x^{3} - 1)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x (x^{3} - 1)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{3} - 1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 (x (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (3 (x^{1} x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (3 x^{1 + 2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Addiere $1$ und $2$ .

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \cdot 1)$

Schritt 8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $x^{3} - 1$ mit $1$ .

$3 (3 x^{3} + x^{3} - 1)$

Schritt 8.2

Addiere $3 x^{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (4 x^{3} - 1)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (4 x^{3}) + 3 \cdot - 1$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + 3 \cdot - 1$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$12 x^{3} - 3$